Matematik

Finde tæthedsfunktion

20. marts 2016 af MissCK (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Jeg sidder pt. og gennemgår nogle opgaver inden for matematik/statistik, men er nu gået en smule i stå ved denne:

Jeg ved, at svaret angiveligt skulle være W ~ e(6). Det vil sige, at W er eksponentialfordelt med 6.

Men jeg kan dog ikke lige komme frem til dette. Er der en venlig person, som evt. kan forklare trinvis hvordan resultatet fremkommer?

Tak på forhånd.


Brugbart svar (1)

Svar #1
20. marts 2016 af peter lind

Se på de kumulerede sandsynligheder

P{W<w} = P{-½log(X) < w} = P{Log((X) > -2w} = P{X > e-2w}. Den sidste kan du så regne ud ved brug af tæthedsfunktionen for X

NB Der står Log i opgaven hvilket normalt betyder 10-tals logaritmen. Det du skriver om svaret får mig til at tro, at det er den naturlige logaritme


Svar #2
20. marts 2016 af MissCK (Slettet)

Hej, og tak for dit svar.

Med P{X > e-2w} mener du vel sandsynligheden for at X er større end  e-2w?

Hvad der forvirrer mig en smule er, at der både indgår X og W. Hvordan mener du, at det udledes af tæthedsfunktionen for X?


Brugbart svar (1)

Svar #3
20. marts 2016 af peter lind

Første spørgsmål: ja

Ifølge definitionen for tæthedsfunktionen gælder P{X>e-2w} = ∫a1f(x)dx med a =e-2w


Brugbart svar (1)

Svar #4
20. marts 2016 af peter lind

Det der står inde i P{} er blot den del af udfaldsrummet man ønsker at beregne sandsynligheden for. Det er så blot omskrevet med almindelige regneregler


Svar #5
20. marts 2016 af MissCK (Slettet)

Hej igen,

Hvad der undrer mig er så blot, hvordan det du netop har skrevet bliver til W ~ e(6) som angiveligt skulle være løsningen på opgaven. Selv hvis det antages, at log i opgaven betegner ln (den naturlige logaritme).


Brugbart svar (1)

Svar #6
21. marts 2016 af SådanDa

log betegner helt givet den naturlige logaritme i dette tilfælde, dette er også en helt almindelig notation.

Hvis du sammenholder #1 og #3 har du at fordelingsfunktionen for W er givet ved:

FW(w)=P(W≤w)=∫a1f(x)dx, hvor a=e-2w, dette integral kan regnes:

a1f(x)dx=[x3]a1=1-(e-2w)3=1-e-6w, hvilket kan genkendes som fordelingsfunktionen for en eksponentialfordeling med parameteren 6, da en fordeling er entydigt bestemt udfra dens fordelingsfunktion ved vi at W~e(6), og derfor at tæthedsfunktionen er fW(w)=6e-6w for w≥0 (alternativt findes d/dw 1-e-6w).

Alternativt kan man bruge en sætning om transformation af tætheder:

For en absolut kontinuert stokastisk variabel X og en bijektiv og differentiabel afbildning W=w(X) er W igen en absolut kontinuert variabel med support supp fW=w(supp fX) og tæthed fW(w)=|d/dw x(w)|fX(x(w)), w∈supp fW. Her er x(w) den inverse til w(x).

I dette konkrete eksempel er w(X)=-1/2log(X), så vi finder supporten som -1/2log([0,1])=(0,∞).

Da w(x)=-1/2log(x) er x(w)=e-2w, så tætheden er:

fW(w)=|-2e-2w|·3(e-2w)2=2e-2w·3e-4?w=6e-6w, w∈(0,∞). Dette er lige med tætheden for en eksponentialfordeling med parameter 6 (i hvert fald op til en 0-mængde), så det kan konkluderes at W~e(6).


Svar #7
21. marts 2016 af MissCK (Slettet)

Rigtig mange tak for jeres svar! Så forstår jeg det bedre :)


Skriv et svar til: Finde tæthedsfunktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.