trigonomiske opgave

#0. Jeg indsætter et beskåret billede.

#0. Et geometrisk bevis, der bygger på trekanter og enhedscirklen, er svært. Det er nemmere at bruge vektorer. Lad os sige, at følgende er givet:

1) Enhedsvektorerne: b = (cos(w),sin(w)) og c = (cos(v),sin(v)). 

2) Vinklen mellem b og c er |w-v|. Der gælder: cos(|w-v|) = b·c = cos(w)·cos(v) + sin(w)·sin(v).  

3) cos(θ) = cos(-θ) og sin(θ) = -sin(θ).

Dette giver: cos(|w-v|) = cos(w-v) = cos(w)·cos(v) + sin(w)·sin(v) ⇔ cos(w-(-v)) = cos(w)·cos(-v) + sin(w)·sin(-v) ⇔ cos(w+v) = cos(w)·cos(v) - sin(w)·sin(v)

aaah. Tak for hjælpen :)

#2 Rettelse...

1) Enhedsvektorerne: b = (cos(w),sin(w)) og c = (cos(v),sin(v)). 

2) Vinklen mellem b og c er |w-v|. Der gælder: cos(|w-v|) = b·c = cos(w)·cos(v) + sin(w)·sin(v).  

3) cos(θ) = cos(-θ) og sin(θ) = -sin(-θ).

Dette giver: cos(|w-v|) = cos(w-v) = cos(w)·cos(v) + sin(w)·sin(v) ⇔ cos(w-(-v)) = cos(w)·cos(-v) + sin(w)·sin(-v) ⇔ cos(w+v) = cos(w)·cos(v) - sin(w)·sin(v)

#2. Måske lidt mere elegant:

Lad følgende være givet:

1) Enhedsvektorerne: b = (cos(w),sin(w)) og c = (cos(v),sin(v)). 

2) cos(|w-v|) = b·c = cos(w)·cos(v) + sin(w)·sin(v) (hvor |w-v| er vinklen mellem b og c).  

3) cos(-v) = cos(v) og sin(-v) = -sin(v).

Dette giver: 

cos(|w-v|) = cos(w-v) = cos(w)·cos(v) + sin(w)·sin(v) ⇔ 

cos(w-(-v)) = cos(w)·cos(-v) + sin(w)·sin(-v) ⇔ 

cos(w+v) = cos(w)·cos(v) - sin(w)·sin(v)

.................................................................................

Lad os sige, at man yderlige skal finde den tilsvarende formel for sin(w+v). Hertil bruger man i tillæg til ovenstående:

sin(x) = cos(π/2-x) og cos(x) = sin(π/2-x), der giver:

sin(w+v) = cos(π/2-(w+v)) = cos((π/2-w)+(-v))) = cos(π/2-w)·cos(-v) - sin(π/2-w)·sin(-v) =

sin(w)·cos(v) + cos(w)·sin(v) 

#6. Jeg er glad for, at du forstår det, for det gjorde jeg ikke selv, da jeg gik i gymnasiet. Det er først nu via internettet, at jeg har lært det.

#2. Man kan bevise det ved hjælp af geometri som vist til højre

Man starter med den røde retvinklede trekant, som har vinklen β og hypotenusen 1. Til denne lægger man den blå som har vinklen α og hypotenusen cos(β). Rundt om disse tegnes en rektangel, hvor bredden er cos(α+β) + sin(α)·sin(β) foroven og cos(α)·cos(β) forneden.

Det vil sige, at cos(α+β) + sin(α)·sin(β) = cos(α)·cos(β)  ⇔ 
cos(α+β) = cos(α)·cos(β) - sin(α)·sin(β).

Dette gælder dette kun for α+β < 90°, men det kan generaliseres til alle vinkler ved hjælp af enhedscirklen.