Matematik
Populationen af grønne rovmyrer, Vejen til MatematikA2, Opgave 316, Side 245,( Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)
Opgave 316
Opgave 316
For en population af grønne rovmyrer antages det, at populaionens størrelse N afhænger af tiden t målt i døgn som beskrevet ved denne differentialligning:
dN
------------ = 5,2 • 10-4 N ( 500 - N )
dt
a) Bestem populationens væksthastighed til dette tidspunkt, hvor der er 100 myrer.
(Se evt vedhæftede fil med opgaveteksten fra side 245 og facit fra facitlisten side 395)
Mit forsøg:
Jeg indsætter N = 100
dN
------- = 5,2 • 10-4 • 100 • ( 500 - 100 ) =20,8
dt
Det samme som i facitlisten side 395.
Efter 20 døgn er der 200 myrer i populationen.
b) Bestem en forskrift for N som funktion af t.
Mit forsøg:
I Matematisk formelsamling Gymnasiet Matematisk Linje 3-årigt Forløb Til A-niveau side 35
står der følgende:
Ligning Løsning
dy / dx = ay (M - y) y = M / 1 + ce-aMx
Hvis jeg omskriver den løsning til opgave 316
M
y = -------------------------- så kan den omskrives til:
1 + ce- aMx
M
N ( t ) = ------------------------
1 + ce- a • M • t
Jeg sætter
a = 5,2 • 10-4
Antal grønne rovmyrer: M = 200
Tiden: t = 20
Jeg indsætter i løsningen og bestemmer konstanten c
500
200 = ------------------------------------------
1 + ce- 5,2 • 10-4 •500 • 20
200 • ( 1 + ce- 5,2 • 10-4 • 500 • 20 ) = 500
200 + 200 • c • e- 5,2 • 10-4 • 500 • 20 = 500
200 • c • e- 5,2 • 10-4 • 500 • 20 = 500 - 200
( 500 - 200 )
c = ----------------------------------- = 271,9083
200 • e -5,2 • 10 -4 • 500 • 20
Jeg indsætter tiden t = 1 og c = 271,9083 i løsningen:
500 500
N ( t ) = ------------------------------------------------------ = -----------------------------------------
1 + 271,9083 • e -5,2 • 10 -4 • 500 • t 1 + 271,9083 • 1,29693-t
Det passer med facitlisten side 395
Mit spørgsmål er, for selvom at min bestemmelse af en forskrift for N for populationen størrelse som funktion af tiden passer med facitlisten, er min fremgangsmåde til at bestemme den forskrift, er den korrekt foretaget ?.
På forhånd tak
Svar #2
13. februar kl. 15:27 af ca10
Tak for svaret
Hvis jeg skriver følgende:
e - 5,2 • 10(-4) • 500 • t = e 5,2 • 10-4 • 500 • ( -t ) = e0,26 • ( - t ) = 1,2969-t
gælder så lighedstegnet i udtrykket
500 500
---------------------------------------------- = ---------------------------------------
1 + 271,908 • e- 0,26 • t 1 + 271,908 • 1,29639-t
På forhånd tak
Svar #5
13. februar kl. 16:23 af ca10
Tak for svaret
Jeg prøver følgende:
500 500
N ( t ) = --------------------------------------- = ---------------------------------------
1 + 271,908 • e - 0,26 • t 1 + 271,908 • 0,771052 t
og
1)
500
N ( 20 ) = ---------------------------------------- = 200,0001 ≈ 200
1 + 271,908 • e - 0,26 • 20
2) 500
N ( 20 ) = ---------------------------------------- = 199,9988 ≈ 200
1 + 271,908 • 0,77105220
3)
500
N ( 20 ) = ---------------------------------------- = 199,0013 ≈ 200
1 + 271,908 • 1,29639-20
Så facit afhænger af hvordan udregner e - a • M • t .
På forhånd tak
Skriv et svar til: Populationen af grønne rovmyrer, Vejen til MatematikA2, Opgave 316, Side 245,( Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.