Definitionsmængde og værdimængde

Hej,

Begreberne injektiv og omvendt funktion, synes jeg, at der bliver forklaret meget godt her:

https://www.youtube.com/watch?v=CPDP5cqYhAs

Når vi skal undersøge om en funktion er injektiv, kan det gøres ved at vi differentierer funktionen og undersøger fortegnet for den afledede funktion. Hvis funktionen enten "altid" er voksende eller "altid" er aftagende (funktionen siges da at være monoton), så er funktionen injektiv.

Hvis du stadig har spørgsmål til det, må du endelig spørge igen - så vil jeg gerne forsøge at hjælpe dig videre.

Definitionsmængden for en funktion f, er, simpelt fortalt, den talmængde hvorfra vi "henter" vores x-værdier og betegnes Dm(f(x)). Altså mængden af tal, som vi kan indsætte i funktionen.

Værdimængen kan betragtes som mængden af de y-værdier, som bliver "ramt" af funktionen og betegnes Vm(f(x)). Mere præcist er værdimængden mængden af tal, som opfylder at y = f(x).

Værdimængden, Vm(f(x)), kan derfor skrives således:

Vm(f(x)) = {y | der findes et x, så y = f(x)}. Læses som: "mængden af y-værdier, for hvilket det gælder, at der findes minimum et x, som opfylder at y = f(x)."

Giver det mening, eller skal det uddybes? :)

Så altså definitionsmængden er f.eks. bare x i noget soim dette? f(x) = 2 + 3x hvor så x er bare 2 eller noget, eller misforstår jeg?

Og ved værdimængden, når du siger ramt, hvad mener du der? 

#2

Det er ikke helt korrekt.

I eksemplet du nævner, kan vi indsætte alle tal på x plads og få et nyt tal ud af det (en funktionsværdi). Vi risikerer ikke at lave nogle "ulovlige" operationer, som f.eks. at dividere med 0 eller tage kvadratroden af et negativt tal.

For funktionen f(x) = 2 + 3x, er definitionsmængden mængden alle reelle tal (tænk bare på de reelle tal, som alle tal du kender).

Definitionsmængden ville derfor kunne angives ved:

Dm(f(x)) = R. (R er blot en skrivemåde for den reelle talmængde)

Jeg har prøvet at vise og forklare definitions- og værdimængde grafisk på bilaget :)

Det er svært at forklare på skrift, uden at bruge en masse svære ord. Hvis det er nemmere at forstå, når det bliver fortalt, kan du også prøve at se denne video:

https://www.youtube.com/watch?v=uKP6sfgbWUM

# 0
Injektiv vil i denne forbindelse sige, at der til  e t h v e r t  y i værdinængden  h ø j s t  findes ét x i
definitionsmængden.
Hvis vi har den rette linje, som ikke er parallel med x-aksen, er denne betingelse for injektivitet opfyldt.
Hvis vi derimod har parablen, får vi for et vilkårligt y i værdimængden to x i definitionsmængden,
dog har toppunktet kun et x. 2'grds funktionen er derfor ikke injektiv, hvis begge parablens grene
skal med.  

Definitionsmængden Dm(f) består af alle de x-værdien, man kan sætte ind og bestemme f(x).
Typiske begrænsninger
a)  Ikke dividere med 0
b)  Tal under kvadratrod må ikke være negative

Værdimængden består af alle funktionsværdierne y = f(x)
Typiske begrænsninger
a) Kvadratrod er aldrig negativ
b) En brøk er kun 0, når tæller er 0 

En anden måde at beskrive injektivitet på:
f er injektiv ⇔ ligningen f(x) = y har netop én løsning for alle tal y i Vm(f)

En injektiv funktion f har en invers (ommvendt) funktion f^-1
f(x) = y ⇔ x = f^-1(y)
Dm(f^-1) = Vm(f) og Vm(f^-1) = Dm(f)

Eks. med f₁
Definitionsmængde: 16 - 4x ≥ 0 ⇔ 16 ≥ 4x ⇔ 4 ≥ x, så Dm(f) = ]-∞,4]

Værdimængde: , så Vm(f) = [-3,∞[

, for y ∈ Vm(f) 
Og hvis den uafhængige variabel i stedet kaldes x: , x ≥ -3

Grafen for f^-1 er en spejling af grafen for f i linjen y = x.