Debat

Atomer og Borel

20. april 2008 af math-freak++ (Slettet)

Vi er begyndt at have om atomer i sandsynlihedsteorien og jeg kan ikke se hvad pointen er med dem. Har de nogen smarte egenskaber eller hvad?

Er det svært at afgøre at en arbitrær mængde er en Borel-mængde og det er svært at vise at der findes mængder, som ikke er borelmængder?

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. april 2008 af Euler (Slettet)

Vi tildeler en mængde en bineær kode. E^n := {(e1,e2,...,en) € R^n | ei = 0 eller 1} betegner så mængden af binære koder af længde n, hvor 1_(A1,...,An) (w) er en funktion fra Q ind i E^n, hvor Q er den givne o-algebra, og w tilhører denne o-algebra.
Vi kan nu lade T = (t1,t2,...,tn) € E^n være en given bineær kode, og lade A_T betegne mængden alle w tilhører Q, som vi har givet koden T. Mængderne A_T kaldes atomer for o-algebraen o(A1,...,An). Det er meget vigtigt, at du er med på det, fordi ellers vil du have svært ved at se meningen med det.

Atomerne giver god mening. Vi kan for eksempel se på mængden (A_T | T € E^n), som betegner mængden af atomer for o-algebraen o(A1,...,An). Da gælder nemling

I: Atomerne er indbyrdes disjunkte og Q giver foreningen af A_T.

Lader vi S være en anden given mængde med binær kode har vi
II: A_S = {w € W | 1_(A1,...,An) € S} giver foreningen af A_T, hvor T tilhører S. Alle S skal naturligvis være en delmængde af E^n med konventionen A_Ø := Ø.

III: o(A1,...,An) = {A_S | S er en delmængde af E^n}

Dette er ikke nødvendigvis indlysende. Det kræver et bevis. Man kalder det primært for "Atomsætningen".

Vi ser også, at atomerne er udelelige indenfor o-algebraen i den forstand at hvis F ligger i o-algebraen og F er indeholdt i atomen A_T, da er F enten lig A_T eller lig med Ø. (Det er derfor, man kalder det for atomer).

Det er overraskende, at E^n har 2^n elementer og mængden af delmængder af E^n har 2^2^n elementer. Dette betyder, at vores o-algebra o(A1,...,An) højst har 2^2^n elementer. F.eks. har E^10 2^10 elementer og 2^2^10=2^1024 = ca. 1,88 * 10^300 delmængder, hvilket er meget !

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. april 2008 af Euler (Slettet)

Dit spørgsmål ang. Borel-mængder: Du kan altid gå ud fra at en mængde er en Borelmængde, når du arbejder med dine sandsynligheder.

Vi kan se på Borel o-algebraen for R eller det k-dimensionalle reelle talrum R^k, k = {1,2,...}. Jeg går ud fra, at du allerede kender den formelle definition ?
Enhver åben delmængde af R er en tællelig foreningsmængde af åbne intervaller. Da vil enhver åben delmængde af R være en Borelmængde.
Jamen, så er det jo klart, at en lukket delmængde af R er komplementet til en åben delmængde (pr. def.) vil enhver lukket delmængde af R være en Borelmængde. Nu er det jo klart, at det er meget svært at forestille sig en delmængde af R, som ikke kan konstrueres ud fra intervaller, men det findes faktisk (som du selv siger) delmængder af R, som ikke tilhører Borel o-algebraen. Det er utroli svært at konstruere sådan en mængde ! Konstruktionen er meget speciel og mærkelig. Om det er svært at vise? Jeg har set et bevis for at den konstruerede mængde ikke er en Borel mængde. Beviset er ca. 50 sider.

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. april 2008 af Mussy06 (Slettet)

Euler, du gør mig svimmel ...

Svar #4
20. april 2008 af math-freak++ (Slettet)

50 sider? Det bevis vil jeg da gerne se. Har du det liggende?

#3 Ja, han er god til at gøre folk svimle hehe ;D

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. april 2008 af Euler (Slettet)

Jeg har det ikke liggende. Jeg fik faktisk koffeinchok den dag jeg så det.

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. april 2008 af Euler (Slettet)

#3 Det minder mig om Bohrs citat: "Enhver, som kan overveje kvantemekanik uden at blive svimmel, har ikke forstået den rigtigt." :)

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. april 2008 af Jean

#2:

Hvis du studerer på AU, kan du spørge Hoffmann. Jeg tror han har det til at ligge :)

Brugbart svar (0)

Svar #8
21. april 2008 af Euler (Slettet)

Ja, Hoffmann har det helt klart liggende. Så kan du jo bare sende en mail til ham "math-freak++" :)

Brugbart svar (0)

Svar #9
22. april 2008 af JacobJensen (Slettet)

Jeg har slet ikke hørt om atomer i forbindelse med mit sandsynlighedsteori. Men det er da ret fix at tillægge mængder binære koder. Det gav først mening for mig, da jeg tegnede en tegning af tre cirkler som lå på hinanden, hvor cirkel A1 var delt i 3: 001,011,111 hvor disse dele var indbyrdes disjunkte.

Min forelæser sagde, at mennesket havde sværest ved at opfatte fænomenet "sandsynlighed", og at sandsynlighedsteoriens filosofi var noget at det mest abstrakte og kompliceret, der fandtes. "Så snart man har en intution om noget med sandsynligheder, kan man roligt antage at man er forkert på den" sagde han :)

Brugbart svar (0)

Svar #10
22. april 2008 af JacobJensen (Slettet)

Der er også andre vanskelige discipliner. Målteori skulle være et sand helvede har jeg hørt. Jeg skal først have det andet eller tredje år.

Brugbart svar (0)

Svar #11
22. april 2008 af ¤Sofie¤ (Slettet)

atomer... jeg troede det var fysik :p

Brugbart svar (0)

Svar #12
23. april 2008 af stræber-pigen (Slettet)

#10 Skal fysikere have Målteori?

Brugbart svar (0)

Svar #13
23. april 2008 af Jean

#10.

Målteori er skam ikke så slemt :) Er det stadig Graversen der har det?

Brugbart svar (0)

Svar #14
23. april 2008 af JacobJensen (Slettet)

#13 Det ved jeg faktisk ikke. Hvad forelæser han ellers i?

Brugbart svar (0)

Svar #15
24. april 2008 af Jean

Sandsynligehedsteori 1.1 og 2. Hvis du ikke har haft ham endnu, så glæd dig. Han er en af de IMF's bedste forelæsere.

Brugbart svar (0)

Svar #16
24. april 2008 af .:Tarzan:. (Slettet)

uhhh Euler.

Brugbart svar (0)

Svar #17
24. april 2008 af Euler (Slettet)

#16 Ja?
#4 Beviset for den formelle transformationssætning af en absolut kontinuert, stokastisk vektor med en given tæthedsfunktion er ca. 150 sider.

Brugbart svar (0)

Svar #18
24. april 2008 af stræber-pigen (Slettet)

#17 Fik du også koffeinchok den dag, du så det? :p

Brugbart svar (0)

Svar #19
24. april 2008 af Euler (Slettet)

#18 Dog ikke :)

Brugbart svar (0)

Svar #20
25. april 2008 af JacobJensen (Slettet)

#15 Så har jeg da noget at se frem til! :)

Forrige 1 2 Næste

Der er 23 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.