ax+y=a

Da du har at x=y har du jo sådan set bare to ligninger med to ubekendte.
Isoler y i den første ligning, idet x=y. Sæt dette udtryk for y ind i den anden og isoler a.

?? idet x=y ??

Kan dette demonstreres?

Lad os dele op i to tilfælde;

Vi betragter ligningssystemet

ax + y = a (1)
ay - x = 1 (2)

Af (1) fås y = a(1-x), som substitueres i (2), hvilket giver

(a^2)*(1-x) - x = 1

hvoraf (tjek selv)

x = (a^2 - 1)/(a^2 + 1)

Dermed fås af (1), at

y = a - a*(a^2 - 1)/(a^2 + 1) = 2a/(a^2 + 1)

For ethvert a E R er løsningen til ligningssystemet derfor

(x,y) = ((a^2 - 1)/(a^2 + 1) , 2a/(a^2 + 1))

For x = y betragter vi systemet

x*(a+1) = a (3)
x*(a-1) = 1 (4)

Tydeligvis er a hverken -1 eller 1, og vi har af (3) og (4)

x = a/(a+1)
x = 1/(a-1)

hvoraf

a + 1 = a*(a-1)

eller, om man vil;

a^2 - 2a - 1 = 0

altså en andengradsligning i a. Denne har løsningerne

a = 1 +/- sqrt(2)

Man kan eventuelt selv kontrollere dette samt, at løsningerne i dette tilfælde bliver

x = y = +/- 1/sqrt(2)

"Solidum petit in profundis"

//Singularity